布萊克斯科爾斯是否表現出波動的微笑？
您經常聽說波動性微笑。這是在標準 Black Scholes 模型中發生的事情，以及通常的看漲期權價格公式嗎？
如果我們觀察一些看漲價格（例如，15），然後根據不同的行使價但固定期限（即期限 = 1，行使價從 80 到 140）從 BS 公式推導出隱含波動率，我們會那麼看到微笑了嗎？
如果我們觀察一些看漲價格（例如，15），然後根據不同的行使價但固定期限（即期限 = 1，行使價從 80 到 140？？）從 BS 公式導出隱含波動率，會我們又看到了微笑？
是的。根據 Black-Scholes 模型，各種行使價和給定期限的市場價格通常具有更高的隱含波動率，而不是平價。
在 Black-Scholes 模型中沒有考慮到波動率不是罷工的函式這一事實，因此假設波動率在罷工期間是恆定的，但市場不會以這種方式為期權定價。
我不知道定量理論是否被證明過；我一直只是假設人們願意根據他們的策略為在價內或價外的期權支付稍高的價格，但我沒有證據支持這一理論。
Black-Scholes 模型基於假設對數正態股票價格波動具有恆定波動性。然而，現代實踐不是將 Black-Scholes 公式用作預測，而僅將其用作期權價格的參數化，其中給定期權在給定時間的觀察價格轉化為“局部”隱含波動率 (IV)。因此，當得到的 IV隨罷工和時間而變化時，它是對原始 Black-Scholes 假設的分解的參數化。預測期權價格被重言式地重構為預測相應的 IV。至多我們可以說，如果最初的 Black-Scholes 假設大致正確，IV 是大致恆定。
波動率微笑是股票價格波動的預期結果，其尾部比對數正態更重。也就是說，由於新聞或情緒變化而突然大幅上漲或下跌，雖然很少見，但並不像對數正態分佈所顯示的那樣罕見。（參見 Nassim Taleb 的工作。）在沒有替代 Black-Scholes 來實際模擬更準確的分佈的情況下，我們通過注意到進一步的虛值期權定價就好像標的對數正態波動率較高（代表較重的尾部）。