當收益率小於貼現率時 NPV 總是為負的數學證明

誰能提供一個數學證明，證明當收益率低於貼現率時NPV*總是負數？*那就是假設我們有

• 單個初始輸入，C0
• 固定的已知投資回報率，r > 0
• 和一些恆定的貼現率，rd > r
• 並讓 Ct = 期間 t 的現金流量

在我看來，論點是這樣的：

NPV = -C0 + summ( Ct / (1+rd)^t ) 
= -C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )
... then some magic happens, then ...
< 0 

但如何從頭到尾，我不知道。

有趣的是，我認為這是因為 r < rd 並且這兩個數字都會隨著時間呈指數級縮小，因此永遠不會有一段時間返回的現金流量會大於您通過以貼現率 rd 進行投資所獲得的回報，因此 NPV < 0（如果這是一種錯誤的思考方式，請告訴我）。

基本上，只要投資回報低於所有時期的貼現率，就要求證明 NPV 總是 < 0。

希望得到證明和解釋（甚至解釋為什麼這可能試圖證明不一定正確的事情）。謝謝。

內部收益率是r滿足等式的值

0 = C0 + C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)^2 + ... + Cn / (1 + r)^n

淨現值 (NPV) 是貼現現金流之和的值：

NPV = C0 + C1 / (1 + rd) + C2 / (1 + rd)^2 + ... + Cn / (1 + rd)^n

因為rd > r，對於t = 1, ..., n，我們有簡單的不等式：

(1 + rd) > (1 + r)

(1 + rd)^t > (1 + r)^t

取逆轉換不等式的方向：

1 / (1 + rd)^t < 1 / (1 + r)^t

由於注入現金是負現金流，C0 < 0. 但大概Ct > 0對於所有後續時間段（即，對於t = 1, ..., n）。因此，將上面的不等式乘以一個正數Ct，保留不等式的方向：

Ct / (1 + rd)^t  < Ct / (1 + r)^t

現在，逐項查看總和，

0 = C0 + C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)^2 + ... + Cn / (1 + r)^n
 > C0 + C1 / (1 + rd) + C2 / (1 + rd)^2 + ... + Cn / (1 + rd)^n = NPV

這表明，如果我們使用大於回報率的貼現率來評估現金流（初始投資後是正現金流），那麼 NPV 將為負。

引用自：https://money.stackexchange.com/questions/88568