如何在餘額遞減的情況下獲得從還款開始到特定日期的利息？

我需要一個公式來獲得從我的貸款開始支付到特定日期所賺取的利息。我知道目前應得利息的公式，我的公司在 excel 中給了我：

days = DateDiff(LastPaymentDate, CurrentPaymentDate, "D")
Due Interest = Principal Remaining * Int. Rate * days / 360

但這些公式只給了我目前應有的興趣。我想從一開始到某個特定時間點獲得我的利息，就好像我沒有從中支付任何利息一樣。我用Google搜尋了公式，但只找到了每月或整個貸款期限的公式。順便說一下，這是我貸款的詳細資訊：

Principal        = 70000
Annual Interest  = 8%
Terms            = 3 years
Payment Freq.    = Monthly

範例場景

Payment Start    = Jan - 2016
Payment Date     = March 15 2016
Interes Earned (Jan 01 to March 15) = ?

您需要的公式是

interest = (d+d q-r s-(1+q) (1+r)^x (d-r s)+d r x)/r

在哪裡

d is the monthly payment
r is the monthly rate = 0.08/12
s is the principal = 70000
x is the number of complete months = 2
q is the interest factor for the incomplete month = Int. Rate * days / 360

d使用貸款支付公式獲取每月支付金額

d = r s/(1 - (1 + r)^-n)在哪裡n = 36 months

∴ d = 70000 r/(1 - (1 + r)^-36) = 2193.55

以 OP 的規範為利息

q = Int. Rate * days / 360 = 0.08 * 15/360

並應用公式

interest = (d + d q - r s - (1 + q) (1 + r)^x (d - r s) + d r x)/r = 1143.6

1-3月15日應計利息為1143.6

為了解釋和展示該方法，首先獲得前兩個月的利息

x = 2
q = 0
interest = (d + d q - r s - (1 + q) (1 + r)^x (d - r s) + d r x)/r = 921.821

支票：前兩個月利息=70000 r + (70000 (1 + r) - d) r = 921.821

兩個月後的餘額=(70000 (1 + r) - d) (1 + r) - d = 66534.7

15天餘額利息=66534.7 * 0.08 * 15/360 = 221.782

interest = 921.821 + 221.782 = 1143.6與公式的結果相匹配。

另一個例子：20 個月零 10 天后支付的利息。

x = 20
q = 0.08 * 10/360
interest = (d + d q - r s - (1 + q) (1 + r)^x (d - r s) + d r x)/r = 7129.67

公式的推導

這是導致結果公式的普通計算。

r是月利率，s是本金，n是月數，d是月供

r = 0.08/12
s = 70000
n = 36

d = (r (1+r)^n s)/(-1+(1+r)^n) = 2193.55

計算每個月的利息和月末餘額。

int[jan2016] = 70000 r

466.667

end[jan2016] = 70000 (1 + r) - d

68273.1

int[feb2016] = end[jan2016] r

455.154

end[feb2016] = end[jan2016] (1 + r) - d

66534.7

計算餘額 15 天的利息。可以使用近似方法，例如Int. Rate * days / 360。在這裡，我將每日費率作為年有效費率的 365 次方根：)(1 + Int. Rate/12)^(days 12/365) - 1這就是我通常獲得每日費率的方式。

int[mar15th2016] = end[feb2016] ((1 + r)^(15*12/365) - 1)

218.376

1月至3月15日的利息= 466.667 + 455.154 + 218.376 = 1140.2

求解遞推方程

end[x + 1] = end[x] (1 + r) - dwhere的解決方案end[0] = s是

pn = (d-d (1+r)^x+r (1+r)^x s)/r

這可用於在任意x數量的完整月份後找到餘額。

with x = 1
p1 = pn = 68273.1
int1 = p1 + d - s = 466.667

with x = 2
p2 = pn = 66534.7
int2 = p2 + d - p1 = 455.154

int3 = p2 ((1 + r)^(15*12/365) - 1) = 218.376

1月至3月15日的利息= int1 + int2 + int3 = 1140.2

擴展公式

可以在x完整的幾個月後對利息進行求和。

求和的封閉形式可以通過歸納法找到

bx = (d (1+x r-(1+r)^x)+r (-1+(1+r)^x) s)/r

with x = 2
b2 = bx = 921.821

total = b2 + p2 ((1 + r)^(15*12/365) - 1) = 1140.2

最終公式

將公式bx&pn放在一起並簡化，q作為奇數 15 天的興趣因子。

q = (1 + r)^(15*12/365) - 1

x = 2

bx = (d (1 + x r - (1 + r)^x) + r (-1 + (1 + r)^x) s)/r
pn = (d - d (1 + r)^x + r (1 + r)^x s)/r

total = bx + pn q = (d (1 + x r - (1 + r)^x) + r (-1 + (1 + r)^x) s)/r +
                   q (d - d (1 + r)^x + r (1 + r)^x s)/r

∴ total = (d+d q-r s-(1+q) (1+r)^x (d-r s)+d r x)/r = 1140.2

或者，使用 OP 的方法來計算每日應計。

q = 0.08 * 15/360

total = (d+d q-r s-(1+q) (1+r)^x (d-r s)+d r x)/r = 1143.6

如果你知道的話：

- S:  the original balance of the loan at the start. 70000)
- C:  the current balance of the loan. (69000)
- P:  the total amount of payments made. (3000)

要知道有多少興趣：

I = P- (S - C) = 3000 - (70000 - 69000) = 3000 - 1000 = 2000

引用自：https://money.stackexchange.com/questions/60958