兩筆貸款的實際利率

假設我有兩筆貸款，想計算“有效”利率。為方便起見，我們假設它們具有相同的本金和相同的條款（30 年），只是兩種不同的利率。

我通過簡單地匹配總付款在 Excel 中對此進行建模，並發現（有點令人驚訝）結果不等於利率的平均值。

例子：

Loan 1: 100k @ 1%, monthly: $321
Loan 2: 100k @ 5%, monthly: $537
Combination: 200k  monthly: $858 -> rate is 3.14%

對於 0%/6%、1%/5%、2%/4% 3%/3% 拆分，我得到不同的結果。如何從兩個原始利率計算“有效”利率？這背後的數學原理是什麼？

對於這兩種利率r1& r2，計算還款d1& d2，有效月利率是r，計算如下。

s = 100000
n = 30*12 = 360

r1 = 0.01/12 = 0.0008333
d1 = (r1 (1 + r1)^n s)/((1 + r1)^n - 1) =  321.64

r2 = 0.05/12 = 0.0041666
d2 = (r2 (1 + r2)^n s)/(-1 + (1 + r2)^n) = 536.82

2 s = ((d1 + d2) (1 + r)^-n ((1 + r)^n - 1))/r
∴ r = 0.00261726

(r1 + r2)/2 = 0.0025

有效年利率為

a1 = (1 + 0.01/12)^12 - 1 = 0.010046
a2 = (1 + 0.05/12)^12 - 1 = 0.0511619
 (1 + 0.00261726)^12 - 1 = 0.0318631

(a1 + a2)/2 = 0.0306039

綜合利率高於平均水平。

將問題簡化為有效年利率 3% 和 7% 的年費，如果期限為 1 年，則合併利率等於平均 5%。此後，綜合利率高於平均水平，如下所示。

簡化方程。

2 s = ((d1 + d2) (1 + r)^-n ((1 + r)^n - 1))/r

(d1 + d2) = (r1 + r1/(-1 + (1 + r1)^n) +
            r2 + r2/(-1 + (1 + r2)^n)) s

∴ 2 = (r1 + r1/((1 + r1)^n - 1) +
       r2 + r2/((1 + r2)^n - 1)) * ((1 + r)^n - 1)/(r (1 + r)^n)

這是利率之間的基本關係。&n = 1 r的平均值是什麼時候。何時高於平均水平。r1``r2``n > 1 r

引用自：https://money.stackexchange.com/questions/150954