財務獨立

我正試圖找出一個公式,說明我什麼時候可以在任何給定月份退休

  • April 19, 2018

我喜歡 Mad Fientist 實驗室,它讓我看到我離 FI 有多遠。這是我喜歡的地方,圖表的右側:這是我喜歡的,圖表的右側但是為了更激勵我,我想在每個月之後自己計算 FI 日期,這樣我就可以創建一個圖表來說明我離我有多遠. 看看我每個月後是否進步。

根據本網站: https ://www.moneycrashers.com/become-financially-independent-quickly-formula/

基本上,財務獨立公式有兩個部分。第一部分計算您的 FI 編號——為您提供足夠的終生收入所需的總金額:

FI 編號 = 年度支出 / 安全提款率公式的第二部分使用您的 FI 編號來計算您需要多少年才能達到 FI:

到 FI 的年數 =(FI 編號 - 已存的金額)/ 每年的儲蓄

這當然是有道理的。但我還想考慮提款、增長和通貨膨脹率。而且我每年都會在賬戶中投入更多資金,以加快 FIRE 的 RE。

所以我認為它應該是這樣的:

//growthRate - 通貨膨脹率 = 利率(即:5% 將是:1,05)

到 FI 的年數 = log(rate) of -[((yearlySpendings/amountSaved * rate)*(1 - rate)) - 1]

這就是我的想像:這就是我想像的樣子

但我缺少的是。但我想不通的是:我如何將每年我將在儲蓄中增加一些錢這一事實代入等式?

當我在 Excel 中進行數值計算時,我得到的結果與在 Mad Fientist Lab 中相同。但我很想把它打包成一個簡潔的配方。:)

編輯:我認為,這回答了這個問題:當繳款與通脹掛鉤但我沒有 Mathematica時,複利儲蓄賬戶的未來價值,我也無法破譯最高獎勵答案中的方程式。

從這裡複製一個簡單的例子,顯示 4 筆存款和 3 筆取款。

計劃在 4 個月內退休,並在 3 個月內提取 1000 英鎊(現值)的月收入,並根據通貨膨脹進行調整。年利率為 8%,通貨膨脹率為 4%。鍋應該是什麼?

在此處輸入圖像描述

計算月費率,假設有效年費率。

inf = 0.04
i = (1 + inf)^(1/12) - 1 = 0.00327374

apr = 0.08
m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00643403

為了說明計算,假設我們知道在最後存款後的第 3 個月,養老金底池p應該是 3010.57 英鎊

在第 4 個月,它將增長,(1 + m)通貨膨脹調整後的提款將在w (1 + i)^4哪裡w = £1000。所以養老金會像這樣減少

p = 3010.57
p = p (1 + m) - w (1 + i)^4 = 2016.78
p = p (1 + m) - w (1 + i)^5 = 1013.28
p = p (1 + m) - w (1 + i)^6 = 0

這可以使用公式一次性計算出來

o = 4  .  .  the month number
n = 3  .  .  the number of months
p = 3010.57

(-(1 + i)^(n + o) w + (1 + m)^n (i p - m p + (1 + i)^o w))/(i - m) = 0  (formula 1)

更有用的是,它可以表示為一個公式p

p = ((1 + i)^o (1 + m)^-n ((1 + i)^n - (1 + m)^n) w)/(i - m) = 3010.57  (formula 2)

因此,我們在第 3 個月需要 3010.57 英鎊,以用於 1000 英鎊的通脹調整提款。

從存款開始d並增加存款以補償通貨膨脹

p = d
p = p (1 + m) + d (1 + i)^1 = 2.00971 d
p = p (1 + m) + d (1 + i)^2 = 3.0292 d
p = p (1 + m) + d (1 + i)^3 = 4.05854 d

這也可以用公式計算

q = 3  .  .  the final month number

p = (d ((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)))/(i - m) = 4.05854 d         (formula 3)

我們知道p = 3010.57

∴ d = 3010.57/4.05854 = 741.79

上式可以表示為d

d = ((i - m) p)/((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)) = 741.79            (formula 4)

所以第一筆存款是 741.79 英鎊

下個月存款將£741.79 (1 + i) = £744.21等。

第一次提款將是£1000 (1 + i)^4 = £1013.16等。

把步驟放在一起

inf = 0.04
i = (1 + inf)^(1/12) - 1 = 0.00327374

apr = 0.08
m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00643403

o = 4  .  .  the first withdrawal month number
n = 3  .  .  the number of withdrawal months
w = 1000  .  the present value of the withdrawal amount

p = ((1 + i)^o (1 + m)^-n ((1 + i)^n - (1 + m)^n) w)/(i - m) = 3010.57

q = 3  .  .  the final deposit month number

d = ((i - m) p)/((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)) = 741.79

這些相同的公式可用於更實際的縮放計算。

更現實的計算

例如,假設某個 25 歲的人想從 65 歲到 100 歲每月提取 1000 美元的現值。通貨膨脹率為每年 2%,利率為每年 3%(有效利率)。

(65 - 25) * 12  = 480 deposit months
(100 - 65) * 12 = 420 withdrawals
(100 - 25) * 12 = 900 months overall

inf = 0.02
i = (1 + inf)^(1/12) - 1 = 0.00165158

apr = 0.03
m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00246627

o = 480  .  .  the first withdrawal month number
n = 420  .  .  the number of withdrawal months
w = 1000 .  .  the present value of the withdrawal amount

p = ((1 + i)^o (1 + m)^-n ((1 + i)^n - (1 + m)^n) w)/(i - m) = 784011.41

q = 479  .  .  the final deposit month number

d = ((i - m) p)/((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)) = 606.00

該計劃可以通過存入 480 筆存款來實現,從 25 歲開始,每筆存款為 606 美元,隨著通貨膨脹逐月增加,即 607 美元、608 美元、609 美元等。

65 歲時的第一次提款將是 2208.04 美元:1000 美元的現值,即w (1 + i)^480.

使用公式 3 和公式 1

在此處輸入圖像描述

在此處輸入圖像描述

非耗盡年金的解決方案

事實上,非消耗性通脹掛鉤年金是不可能的,因為提款將趨於無窮大,如w (1 + i)^n when n -> infinity. 但是,正如OP 的連結所述…

研究發現,退休人員……每年可以安全地提取 4% 的起始資金——每年根據通貨膨脹進行調整——並且在 30 年末剩下的錢比開始時更多。

可以調整所需資本的計算,使其不會在某個時間(在本例中為 420 個月)耗盡。因此,使用調整後的公式重放上述計算p

(65 - 25) * 12  = 480 deposit months
(100 - 65) * 12 = 420 withdrawals without depleting initial capital
(100 - 25) * 12 = 900 months overall

inf = 0.02
i = (1 + inf)^(1/12) - 1 = 0.00165158

apr = 0.03
m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00246627

o = 480  .  .  the first withdrawal month number
n = 420  .  .  the number of withdrawal months
w = 1000 .  .  the present value of the withdrawal amount

p = ((1 + i)^o (-(1 + i)^n + (1 + m)^n) w)/((-i + m) (-1 - m + (1 + m)^n))

 = 1217900.47                                                          (formula 5)

q = 479  .  .  the final deposit month number

d = ((i - m) p)/((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)) = 941.38

該計劃可以通過存入 480 筆存款來實現,從 25 歲開始,每筆存款為 941.38 美元,並根據通貨膨脹逐月增加。

同樣,65 歲時的第一次提款將是 2208.04 美元:1000 美元的現值,即w (1 + i)^480.

在此處輸入圖像描述

在此處輸入圖像描述

資本圖可以通過n超過 420 個月的值來擴展,說明與通貨膨脹相關的提款如何超過資本增長。

在此處輸入圖像描述

我什麼時候會達到一個狀態,我的投資的每月回報將等於我的每月支出?

這是OP的問題,在評論中得到了澄清。在不考慮通貨膨脹的情況下,答案很簡單。有效年利率為 3%,每月存款/取款 1000 美元。

apr = 0.03
m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00246627

d = w = 1000

p = w/m = 405470.65  .  .  capital required

n = Log[1 + (m p)/(d + d m)]/Log[1 + m] = 280.898                       (formula 6)

因此,在 23 年零 5 個月(281 個月)內,資本不會減少。

隨著通貨膨脹

補償通貨膨脹的相同計算涉及更多。通貨膨脹率為 2%,年利率為 3%,存款和取款現值為 1000 美元。

inf = 0.02
i = (1 + inf)^(1/12) - 1 = 0.00165158

apr = 0.03
m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00246627

Try 35 years of deposits

years = 35

d = 1000
q = years*12 - 1
o = q + 1
w = 1000

p = (d ((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)))/(i - m) = 999121.67

使用公式 5

解決((1 + i)^o (-(1 + i)^n + (1 + m)^n) w)/((-i + m) (-1 - m + (1 + m)^n)) = p_n

在此處輸入圖像描述

n =  270.757

因此,存款 35 年,資本在 22 年零 6 個月(270 個月)內不會減少。

在此處輸入圖像描述

對一系列存款跨度重新進行計算表明,在不減少資本的情況下進行 30 年的提款,需要 36 年零 10 個月的儲蓄。

在此處輸入圖像描述

如前所述,這些與通脹掛鉤的計算基於首次存款時的現值所有存款和取款。所以在上面的例子中,如果存款從今天開始,那麼所有未來的取款將在今天的貨幣中價值 1000 美元。

公式推導

主要公式來自相當簡單的遞歸方程,使用Mathematica求解。

在此處輸入圖像描述

引用自:https://money.stackexchange.com/questions/94304