我正試圖找出一個公式,說明我什麼時候可以在任何給定月份退休
我喜歡 Mad Fientist 實驗室,它讓我看到我離 FI 有多遠。這是我喜歡的地方,圖表的右側:但是為了更激勵我,我想在每個月之後自己計算 FI 日期,這樣我就可以創建一個圖表來說明我離我有多遠. 看看我每個月後是否進步。
根據本網站: https ://www.moneycrashers.com/become-financially-independent-quickly-formula/
基本上,財務獨立公式有兩個部分。第一部分計算您的 FI 編號——為您提供足夠的終生收入所需的總金額:
FI 編號 = 年度支出 / 安全提款率公式的第二部分使用您的 FI 編號來計算您需要多少年才能達到 FI:
到 FI 的年數 =(FI 編號 - 已存的金額)/ 每年的儲蓄
這當然是有道理的。但我還想考慮提款、增長和通貨膨脹率。而且我每年都會在賬戶中投入更多資金,以加快 FIRE 的 RE。
所以我認為它應該是這樣的:
//growthRate - 通貨膨脹率 = 利率(即:5% 將是:1,05)
到 FI 的年數 = log(rate) of -[((yearlySpendings/amountSaved * rate)*(1 - rate)) - 1]
但我缺少的是。但我想不通的是:我如何將每年我將在儲蓄中增加一些錢這一事實代入等式?
當我在 Excel 中進行數值計算時,我得到的結果與在 Mad Fientist Lab 中相同。但我很想把它打包成一個簡潔的配方。:)
編輯:我認為,這回答了這個問題:當繳款與通脹掛鉤但我沒有 Mathematica時,複利儲蓄賬戶的未來價值,我也無法破譯最高獎勵答案中的方程式。
從這裡複製一個簡單的例子,顯示 4 筆存款和 3 筆取款。
計劃在 4 個月內退休,並在 3 個月內提取 1000 英鎊(現值)的月收入,並根據通貨膨脹進行調整。年利率為 8%,通貨膨脹率為 4%。鍋應該是什麼?
計算月費率,假設有效年費率。
inf = 0.04 i = (1 + inf)^(1/12) - 1 = 0.00327374 apr = 0.08 m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00643403
為了說明計算,假設我們知道在最後存款後的第 3 個月,養老金底池
p
應該是 3010.57 英鎊在第 4 個月,它將增長,
(1 + m)
通貨膨脹調整後的提款將在w (1 + i)^4
哪裡w = £1000
。所以養老金會像這樣減少p = 3010.57 p = p (1 + m) - w (1 + i)^4 = 2016.78 p = p (1 + m) - w (1 + i)^5 = 1013.28 p = p (1 + m) - w (1 + i)^6 = 0
這可以使用公式一次性計算出來
o = 4 . . the month number n = 3 . . the number of months p = 3010.57 (-(1 + i)^(n + o) w + (1 + m)^n (i p - m p + (1 + i)^o w))/(i - m) = 0 (formula 1)
更有用的是,它可以表示為一個公式
p
p = ((1 + i)^o (1 + m)^-n ((1 + i)^n - (1 + m)^n) w)/(i - m) = 3010.57 (formula 2)
因此,我們在第 3 個月需要 3010.57 英鎊,以用於 1000 英鎊的通脹調整提款。
從存款開始
d
並增加存款以補償通貨膨脹p = d p = p (1 + m) + d (1 + i)^1 = 2.00971 d p = p (1 + m) + d (1 + i)^2 = 3.0292 d p = p (1 + m) + d (1 + i)^3 = 4.05854 d
這也可以用公式計算
q = 3 . . the final month number p = (d ((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)))/(i - m) = 4.05854 d (formula 3)
我們知道
p = 3010.57
∴ d = 3010.57/4.05854 = 741.79
上式可以表示為
d
d = ((i - m) p)/((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)) = 741.79 (formula 4)
所以第一筆存款是 741.79 英鎊
下個月存款將
£741.79 (1 + i) = £744.21
等。第一次提款將是
£1000 (1 + i)^4 = £1013.16
等。把步驟放在一起
inf = 0.04 i = (1 + inf)^(1/12) - 1 = 0.00327374 apr = 0.08 m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00643403 o = 4 . . the first withdrawal month number n = 3 . . the number of withdrawal months w = 1000 . the present value of the withdrawal amount p = ((1 + i)^o (1 + m)^-n ((1 + i)^n - (1 + m)^n) w)/(i - m) = 3010.57 q = 3 . . the final deposit month number d = ((i - m) p)/((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)) = 741.79
這些相同的公式可用於更實際的縮放計算。
更現實的計算
例如,假設某個 25 歲的人想從 65 歲到 100 歲每月提取 1000 美元的現值。通貨膨脹率為每年 2%,利率為每年 3%(有效利率)。
(65 - 25) * 12 = 480 deposit months (100 - 65) * 12 = 420 withdrawals (100 - 25) * 12 = 900 months overall inf = 0.02 i = (1 + inf)^(1/12) - 1 = 0.00165158 apr = 0.03 m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00246627 o = 480 . . the first withdrawal month number n = 420 . . the number of withdrawal months w = 1000 . . the present value of the withdrawal amount p = ((1 + i)^o (1 + m)^-n ((1 + i)^n - (1 + m)^n) w)/(i - m) = 784011.41 q = 479 . . the final deposit month number d = ((i - m) p)/((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)) = 606.00
該計劃可以通過存入 480 筆存款來實現,從 25 歲開始,每筆存款為 606 美元,隨著通貨膨脹逐月增加,即 607 美元、608 美元、609 美元等。
65 歲時的第一次提款將是 2208.04 美元:1000 美元的現值,即
w (1 + i)^480
.使用公式 3 和公式 1
非耗盡年金的解決方案
事實上,非消耗性通脹掛鉤年金是不可能的,因為提款將趨於無窮大,如
w (1 + i)^n when n -> infinity
. 但是,正如OP 的連結所述…“研究發現,退休人員……每年可以安全地提取 4% 的起始資金——每年根據通貨膨脹進行調整——並且在 30 年末剩下的錢比開始時更多。 ”
可以調整所需資本的計算,使其不會在某個時間(在本例中為 420 個月)耗盡。因此,使用調整後的公式重放上述計算
p
。(65 - 25) * 12 = 480 deposit months (100 - 65) * 12 = 420 withdrawals without depleting initial capital (100 - 25) * 12 = 900 months overall inf = 0.02 i = (1 + inf)^(1/12) - 1 = 0.00165158 apr = 0.03 m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00246627 o = 480 . . the first withdrawal month number n = 420 . . the number of withdrawal months w = 1000 . . the present value of the withdrawal amount p = ((1 + i)^o (-(1 + i)^n + (1 + m)^n) w)/((-i + m) (-1 - m + (1 + m)^n)) = 1217900.47 (formula 5) q = 479 . . the final deposit month number d = ((i - m) p)/((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)) = 941.38
該計劃可以通過存入 480 筆存款來實現,從 25 歲開始,每筆存款為 941.38 美元,並根據通貨膨脹逐月增加。
同樣,65 歲時的第一次提款將是 2208.04 美元:1000 美元的現值,即
w (1 + i)^480
.資本圖可以通過
n
超過 420 個月的值來擴展,說明與通貨膨脹相關的提款如何超過資本增長。我什麼時候會達到一個狀態,我的投資的每月回報將等於我的每月支出?
這是OP的問題,在評論中得到了澄清。在不考慮通貨膨脹的情況下,答案很簡單。有效年利率為 3%,每月存款/取款 1000 美元。
apr = 0.03 m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00246627 d = w = 1000 p = w/m = 405470.65 . . capital required n = Log[1 + (m p)/(d + d m)]/Log[1 + m] = 280.898 (formula 6)
因此,在 23 年零 5 個月(281 個月)內,資本不會減少。
隨著通貨膨脹
補償通貨膨脹的相同計算涉及更多。通貨膨脹率為 2%,年利率為 3%,存款和取款現值為 1000 美元。
inf = 0.02 i = (1 + inf)^(1/12) - 1 = 0.00165158 apr = 0.03 m = (1 + apr)^(1/12) - 1 = 0.00246627 Try 35 years of deposits years = 35 d = 1000 q = years*12 - 1 o = q + 1 w = 1000 p = (d ((1 + i)^(1 + q) - (1 + m)^(1 + q)))/(i - m) = 999121.67
使用公式 5
解決
((1 + i)^o (-(1 + i)^n + (1 + m)^n) w)/((-i + m) (-1 - m + (1 + m)^n)) = p
_n
n = 270.757
因此,存款 35 年,資本在 22 年零 6 個月(270 個月)內不會減少。
對一系列存款跨度重新進行計算表明,在不減少資本的情況下進行 30 年的提款,需要 36 年零 10 個月的儲蓄。
如前所述,這些與通脹掛鉤的計算基於首次存款時的現值所有存款和取款。所以在上面的例子中,如果存款從今天開始,那麼所有未來的取款將在今天的貨幣中價值 1000 美元。
公式推導
主要公式來自相當簡單的遞歸方程,使用Mathematica求解。