永久持有的通貨膨脹調整年金的等式是什麼？
與初始投資、固定回報率、通貨膨脹率和根據通貨膨脹率調整的永續付款相關的等式是什麼？
**編輯：**在閱讀了關於原始問題的評論之一後，我意識到有一種更直覺的方式來思考這個問題。如果您將其視為標準 PV 計算並保持每個現金流量不變。真正發生的事情是，由於通貨膨脹，貼現率不是利率的全部價值。實際上，貼現率只是利率高於通貨膨脹率的部分。因此，在標準永續年利率方程中，
PV = A / rr 變為利率減去給您的通貨膨脹率PV = A / (i - g)。與我最初嘗試的所有詭計相比，這似乎是獲得答案的更好方法。
原答案：
我想我終於想通了。這種支付隨時間增加的系統的通用術語是梯度系列年金。在這個具體的例子中，由於每個時期的支付增加了一個百分比（不是一個恆定的速率），這將被認為是一個幾何梯度系列。
根據此連結，幾何梯度系列支付的現值公式為：
P = A_1 [1 - (1 + g)^n(1 + i)^-n]/(i - g)在哪裡
P是這一系列現金流的現值。A_1是第 1 期的初始付款（即您想要提取的金額根據通貨膨脹調整）。g是定期付款的梯度或增長率（在這種情況下是通貨膨脹率）i是利率n是付款次數這幾乎正是我在原始問題中所尋找的。唯一的問題是這是一段固定的時間（即 n 個週期）。為了找出永續的公式，我們需要找到這個等式右側的極限，因為周期數 (n) 接近無窮大。
幸運的是，在這個等式中，n 已經很好地隔離為一個術語：
(1 + g)^n/(1 + i)^-n}。由於我們知道利率 i 必須大於通貨膨脹率 g，因此該因素的極限為 0。因此，在用 0 替換該項後，我們的等式簡化為以下內容：
P = A_1 / (i - g)注意：我不以做這些事情為生，老實說，我沒有出色的財務智商。自從我做任何微積分甚至這麼多代數以來已經有一段時間了，所以我可能在數學上犯了一個錯誤。
令 P 表示投資金額，R 表示回報率，I 表示通貨膨脹率。為簡單起見，假設每年在獲得回報後立即支付 p。因此，在年末，投資 P 增加到 P*(1+R) 並且 p 作為年金支付返回。
如果 I = 0，則可以將全部回報作為付款支付，因此 p = PR。也就是在年終，當回報PR作為年金被收取並支付後塵埃落定時，P又可以在明年年初獲得回報率R。我們有
P*(1+R) - p = P
如果 I > 0，那麼在年底，塵埃落定之後，我們不能只用 P 作為明年的投資。明年的付款必須是 p*(1+I)，因此我們需要更大的投資，因為回報率是固定的。大多少？好吧，如果明年年初的投資是P*(1+I)，那麼它會賺到足夠的額外資金來支付明年增加的付款，並有足夠的剩餘來幫助未來增加付款。（請注意，我們假設 R > I。如果 R < I，則無法創建永續年金。）因此，假設我們選擇 p 使得
P*(1+R) - p = P*(1+I)
將此方程乘以 (1+I)，我們有
[P(1+I)](1+R) - [p(1+I)] = P*(1+I)^2
換句話說，在明年年初，投資為 P*(1+I)，回報減去 p*(1+I) 增加的支出，剩下的投資為 P*(1+I)^2 次年。每年，下一年的付款和投資金額都會增加（1+I）倍。求解
P*(1+R) - p = P*(1+I)
對於 p，我們得到
p = P*(RI)
作為初始永續支付，並且支付每年增加（1+I）倍。初始投資為 P，並且每年增加 (1+I) 倍。以後幾年，年初投資為P*(1+I)^n，還款為p*(1+I)^n，下一年投資金額為P*(1+I )^{n+1}。
這與 OP 獲得的結果相同，但以我可以理解的方式編寫，即沒有關於貼現率、梯度、PV、FV 等的金融術語。