計算儲蓄增加的投資達到一定值之前的年數
假設支付增加，我想計算投資達到一定價值所需的年數。
忽略付款的增加，我可以使用
NPER（Google表格，Excel）計算。例如，給定179,936.93作為起始投資，57,660作為年付，投資回報率為7%：達到終值2,201,322所需的年數為：
NPER(0.07, 57660,-179936.93, -2201322)=~22.85年，因此是 23 年。如果每年的付款每年增加一個恆定百分比，我如何計算所需的年數？
不幸的是，money.SE 不像 math.SE 那樣支持 MathJax，但無論如何我都會嘗試解釋一下。首先考慮水平支付場景。令 K 為起始投資金額，L 為年度水平付款（拖欠——即發生在每年年底），AV 為期望的累積值。進一步假設利息以 i% 的有效年利率產生。那麼價值方程是
K(1+i)^n + L((1+i)^n - 1)/i = AV,目標是求解這個方程的 n。這給了我們
n = (log(L + i AV) - log(L + i K))/log(1 + i).對於您的情況，這給出了 n = 16.3 年，而不是您的計算顯示的 23 年。原因是您選擇的符號不正確：正確的語法應該是：
NPER(i, -L, -K, AV)因為您的儲蓄中已經有 K，您正在向基金供款 L，並且其累積（未來）價值在期末為正。如果第三個參數是肯定的，這代表貸款的未償餘額，而不是已經投資的金額；換句話說，在你的投資計劃中，基金是在付給你利息，而不是反過來，所以第二個和第三個論點必須被否定。
您也可以通過 i = 10% 的簡單計算來確認，每年支付的 L = 10 加上初始投資 K = 100。在 2 年結束時，您應該有
AV = 100(1.1)^2 + 10(1.1) + 10 = 142.但是如果你使用
NPER(i, L, -K, -AV)，你會得到一個錯誤。現在讓我們看一下非級別支付場景。在這種情況下，假設定期向投資基金支付的款項每年增加 j%。也就是說，第一次支付是L，第二次是L(1+j)，第三次是L(1+j)^2，以此類推。然後很明顯現金流的年金部分已經積累了價值
L(1+i)^(n-1) + L(1+j)(1+i)^(n-2) + L(1+j)^2 (1+i)^(n-3) + ...也就是說，我們可以抽出一個公因數L(1+j)^(n-1)，定義一個新的有效率r = ((1+i)/(1+j)) - 1：
L(1+j)^(n-1) ((1+r)^(n-1) + (1+r)^(n-2) + ... + (1+r) + 1).因此價值方程是
K(1+i)^n + L(1+j)^(n-1) ((1+r)^n - 1)/r = AV或等效地，
K(1+i)^n + L((1+i)^n - (1+j)^n)/(i-j) = AV, j not equal to i, K(1+i)^n + n L (1+i)^(n-1) = AV, j = i.值得一提的是，在第二種形式中，我們發現通過設置 j = 0，我們很容易恢復水平支付場景公式。
不幸的是，這個方程對於 n 的精確閉式解是不可能的；對於 K、L、i、AV 和 j 的某些選擇，我們可以使用數值方法來獲得解。對於您的具體選擇，對於 j 的各種選擇，我得到以下 n 值：
j = 0.01: n = 15.8139 j = 0.02: n = 15.3405 j = 0.03: n = 14.8875 j = 0.04: n = 14.4557 j = 0.05: n = 14.0452 j = 0.06: n = 13.6557 j = 0.07: n = 13.2866 j = 0.08: n = 12.9374 j = 0.09: n = 12.6069 j = 0.10: n = 12.2944 j = 0.15: n = 10.9653 j = 0.20: n = 9.94298 j = 0.25: n = 9.13903 j = 0.30: n = 8.49240 j = 0.35: n = 7.96161 j = 0.40: n = 7.51813.