賭場註冊獎金的預期價值
我住在紐約，最近線上賭場已經合法化，其中許多人提供一些相當豐厚的獎金來註冊。
例如，一個這樣的賭場提供 100% 存款匹配“首注保險”，上限為1,100 並且有 50/50 的獲勝機會，那麼我的預期獎金是 0.50(2,220) + .50(1,100) = 1,650，利潤為 550 美元。
我的分析正確嗎？我不確定，因為我沒有任何體育博彩經驗。另外，您認為假設我有 50/50 的獲勝機會是安全的，或者如果不是，那會更現實嗎？
**更新：**在評估促銷優惠時，了解條款和條件是關鍵。事實證明，這個特殊的促銷活動有一些隱藏的警告，會降低整體 EV。跳到下面的更新答案以獲取詳細資訊。如果“第一次投注保險”是將您的投注退還到您的帳戶中，在您閱讀細則之前聽起來就是這樣，那麼原始答案將適用。
原答案：
您的數學得出了理論上的正確答案，儘管在實踐中賭場不會以 50/50 的機會平均支付，因此需要進行調整。
“首次投注保險”促銷活動（通常用於投注職業體育賽事的結果）意味著只有您的首次投注有保險，所以我們假設您的最高投注額為110 獲勝1100 投注將有 1/2 的機率贏你1100 回來，您通常有一定的時間再次下注該金額，之後您就可以提取任何獎金。通常，您不需要一次性下注第二個 $1100，但為簡單起見，我們假設您確實用 -110 線下注了另一個 1/2 機率下注。你輸兩次的機會 = 1/2 * 1/2 = 1/4，因此你贏的機會是 1 - 1/4 = 3/4。
期望值 (EV) 為：
EV = (1000 * 0.75) + (-1100 * 0.25) = 475 美元
這1000 或損失 1100 美元。與所有賭博一樣，無論“交易”有多好，您都必須接受損失 1100 美元的可能結果。如果您會因為最壞的結果而失眠，那麼您應該將賭注降低到您不會在意輸掉的地方，或者根本不賭。
你能比 475 美元的 EV 做得更好嗎？讓我們對沖！
從概念上講，要麼您將贏得1100免費賭博。理想情況下，你會帶著那 1100 美元離開。我們能想出一個更好的方法來保留（大部分）它嗎？
一般來說，線上賭場有一個內置的利潤率，這使得對沖您的賭注不可能獲利。例如，假設兩支球隊贏得一場體育比賽的機會相同。如果你賭110 並獲勝您下注的 10% 或大約 9%。
然而，促銷活動為有利可圖的套期保值技術打開了大門。例如，假設您存款兩邊都是1100。一方會贏得你1100.然後你把報銷分攤，在另一個賭注上做同樣的事情500，另一個損失 550 美元。您的總獎金將是：
-2200 (initial buy-in) +2100 (first winning bet 1100+1000) +1100 (first losing bet reimbursed) -1100 (second bets of 550 each) +1050 (second winning bet 550+500) ----- + 950 (total winnings)在這種情況下，950 美元的 EV 也是保證獎金！
促銷的條款和條件很可能不允許您以這種方式進行對沖，並且如果您這樣做可能會使保險失效。話雖這麼說，如果你自己做，他們很容易發現這一點，如果你和朋友一起做，他們**很難發現。如果你和朋友一起做，你的第二組賭注都需要550，因此計算的最後兩行分別為 -2200 和 +2100，將總獎金從900. 這比沒有搭檔時略低的原因是因為您下注較大，其中一個肯定會輸。
更新答案：
不幸的是，有問題的特定促銷有一些警告，會降低整體 EV。具體來說：
- 獎勵免費投注是一次性代幣，不能在多個投注中分解。
- 免費投注的價值不包括在支付的任何獎金中。
第 11 條規則很糟糕，因為如果您第二次獲勝，您只能保留您的獎金。繼續之前的計算，第二次獲勝的賭注將支付1100 賭它變成 100 美元的損失。更新後的 EV 計算將是：
EV = (1000 * 0.5) + (-100 * 0.25) + (-1100 * 0.25) = 200 美元
規則 #11 也意味著即使對沖也不能保證獲勝。請注意，下注令牌使對沖的後半部分毫無意義，因為您不僅不能拆分它，而且即使有一個夥伴，您的選擇也是贏1100 通過對沖贏得 1000 美元，所以你應該完全跳過第二個對沖賭注：
-2200 (initial buy-in) +2100 (first winning bet 1100+1000) + 0 (first losing bet reimbursed) - 0 (second bet token) +1000 or 0 (second bet wins or loses) ----- + 900 or -100 (total winnings)因此，通過對沖，您的 EV 變為：
EV = (1000 * 0.5) + (900 * 0.25) + (-100 * 0.25) = 700 美元
這仍然是一個很棒的電動汽車，但你也有 25% 的機會損失 100 美元。
**免責聲明：**我絕對不認可或寬恕此答案中的任何想法；我只是在說明它們背後的數學原理。