為什麼道明銀行按揭還款的本金部分呈鋸齒狀上下波動？（為什麼拖欠年金利息是非單調的）
我試圖了解TD Calculator生成的 TD 抵押貸款的攤銷時間表。
每月付款金額（在此固定利率抵押貸款中）是可預測且恆定的，但每筆付款中產生利息的部分是非單調的。我希望它從高位開始，並逐漸減少。但是它會上下跳動……這是為什麼呢？
例如：
一筆 100 萬美元的貸款，25 年攤銷，每月還款，報價固定利率為 5.34%。螢幕截圖來自 2022 年 8 月 14 日。
和等效的表格，在文本中：
在玩什麼？
編輯：下面的數學牆，用於嘗試答案
有人立即提出，不同的利率可能會隨著日曆中月份的長度（2022 年）而起起落落。我很想試試他們用哪個特定的分數來估計一年的長度。
首先，我根據固定利率計算有效年利率
# fixed mortgage rates in canada compound on 6 months, so # we have to simulate the quoted APR compounding every 6 mo. APR = 0.0534 # quoted rate EAR = (1+0.0534/2)^2 - 1 = 0.05411289 = 5.41%從那裡，我們可以得出不同時期的定期利率：
# 30 day, 31 day, and 28 day rate_30 = (1+EAR)^(30/365) - 1 # Apr, Jun, Sep, Nov rate_31 = (1+EAR)^(31/365) - 1 # Jan, Mar, May, Jul, Aug, Oct, Dec rate_28 = (1+EAR)^(28/365) - 1 # Feb這就像我們建立了等效的每日費率，然後在該月的每一天對其進行複合。
daily_rate = (1+EAR)^(1/365) - 1 rate_30 = (1+EAR)^(30/165) - 1 = ((1+EAR)^(1/165))^30 - 1 = (1 + daily_rate)^30 - 1 # same for rate_28 and rate_31只是為了說明上面的工作，如果你
X在年初借了美元，沒有支付任何款項，並且在每個月底將餘額乘以當月的利率，然後查看最終餘額一年後，您將累積 5.41% 的額外債務：Y2_loan = X * (1+jan_rate) * (1+feb_rate) * ... * (1+dec_rate) = X * (1+rate_31) * (1+ rate_28) * ... * (1+rate_31) = X * (1+rate_31)^7 * (1 + rate_28) * (1+ rate_30)^4 = X * (1+EAR)^(217/365) * (1+EAR)^(28/365) * (1+EAR)^(120) = X * (1+EAR)^(365/365) = X * (1+EAR) = 1.0541129 * X（只是為了表明以這種方式複利的利息相當於每年以 5.411289% 複利一次）
沖銷小數年金額
然後，我嘗試使用上面的公式來確定 TD 的計算器使用了一年中的哪些部分。
我查看了連續幾個月的前幾個付款數據點 A、B、C：
我們看到第二個月的利率高於第一個月，我們看到第三個有效利率 C 與 A 相同。讓我們暫時忽略貨幣值四捨五入的事實。
我們可以將獲得的比率代入我們的年度公式，以推導出應用於 EAR 的指數，
frac_A此處稱為：(1+EAR)^frac_A - 1 = A (1+EAR)^frac_A - 1 = 0.004338620 (1+EAR)^frac_A = 1.004338620 log((1+EAR) ^ frac_A) = log(1.00338620) frac_A * log(1+EAR) = log(1.00338620) frac_A = log(1.00338620)/log(1+EAR) frac_A = 0.082149378 = 29.98452308 / 365 # Assuming the year has 365 days exactly. = 30 / 365.1883997 # Assuming the month has 30 days exactly.因此，第一個週期可能對應於一年 365 天中的 29.9845 天週期，或一年中 30 天的周期和 365.19 天。
如果我對數據點 B 做同樣的事情，那麼我們會在 365 天的一年中獲得 30.9818 天的周期，或者在 365.21 天的一年中獲得 31 天的周期。
考慮對美元金額進行四捨五入
第一次付款不應該有太多的捨入誤差，因此在考慮舍入時，第一次付款的真實價值可能介於兩者之間 $ 4,338.61 and $ 四捨五入前的 4,338.63（向上或向下）。
- 如果這個數字是在 $4338.61 的限制上，那麼這將對應於一個有 29.98445 天的月份，或 365.1892 天一年中的 30 天週期
- 如果該數字在 4338.63 的限制範圍內，則為 29.98459 天，或一年中的 365.2149 天。
我無法超過 30 天，因此必須在其他地方進行舍入，可能是在 EAR 計算中。
我相當確定這是因為它們包含了月份長度不完全相同的事實。這很模糊，因為它們實際上並沒有在結果中包含相關日期，甚至提到表格會根據目前日期略有不同。但這是您的表格，其中插入了月份及其長度，以及一個將利息除以該月天數的新列。
請注意利息金額如何隨月份的長度而變化，尤其是 2 月份的大幅下跌。當然，由於您有固定的付款金額，因此本金與利息成反比。正如您在支付餘額時所期望的那樣，利息/天正在穩步下降。