什麼是衡量普通投資者平均年化收益率的合適指標？
假設投資者每年投資 X 美元，持續 N 年。假設最終的投資組合價值是 $Y。在這種情況下，我應該如何衡量量化“平均年化回報”的指標？
我認為 CAGR 被定義為
CAGR = [($Y/$X)^(1/N) -1]*100.N * $X然而，這並不能說明投資者實際投資總額的事實。將 CAGR 修改為 有意義
CAGR' = [($Y/(N*$X))^(1/N) -1]*100嗎？這佔了全部投資資本。我發現它很直覺，因為它本質上說“嘿，如果我在 N 年內投資 (N*$X) ’ 持續 N 年。” 我還可以使用哪些其他指標？
**注意：**我不是財務顧問，但這個問題引起了我的興趣，我也想嘗試找到類似的東西。您的修改將意味著您在開始時拿走了所有最終的 $X 並進行了投資。所以復合年增長率必然會誤導這一點。我正在研究不同的數學系列來表達這一點，但這可以留給單獨的練習。
我推導出了一種近似方法，並將其附上並描述如下。您的有效 CAGR（新指標）的簡短答案近似值 -
NewMetric_CAGR = [2 * ((Y/X) - N) / (N^2 + N)]我不能在這裡寫方程式，但我附上了我的筆記本方法，當你有 N 年的年度投資等額時，我可以估算一個有效的複合年增長率。
注意下面的等式（1）。
替代方案：另一個指標
CAGR_eff_X = [(2(R+1)^N - 2N)/ (N^2 + N)]是RCAGR，僅以 $X 作為 N 年的投資計算。如果您不想將其基於已經是近似值的 CAGR，並且也基於一次性投資，那麼只需從下面的推導中得出這是因為您投資的 $X 有效地乘以了利率^N。但隨後的指數較小。現在，如果它是一開始和一次性的正常投資（但不是按 N 乘以 $X 計算）。 請記住，您可以R通過僅考慮 $X（而不是 N 乘以 $X）的正常方式進行計算。通過修改，它很容易處理並將其與一次性 N 倍 X 美元的投資金額進行對比。再說一次，CAGR_eff_X = [(2(R+1)^N - 2N)/ (N^2 + N)]現在，如果您想將其與第一年一次性投資 N 倍 $X 的情況進行對比CAGR_eff_NX = [(2(R+1)^N - 2)/ (N + 1)]（如果需要，我可以將完成的方程式分開放置。）我仍然不會將其與可能的 CAGR 為基礎，因此我將在我的手寫計算中簡單地從 eq (1) 中得出比率為
NewMetric_CAGR = [2 * ((Y/X) - N) / (N^2 + N)]**另請注意：**較高功率可以忽略不計的數學近似值（在我的工作表中）適用於相當低的數字，例如按一次性投資計算的複合年增長率低於 20%。對於更高的回報和更短的持續時間/年，近似值會有所偏差。對於更長的持續時間，甚至更高的複合年增長率，近似值也會起作用。
下面粘貼的範例計算（不能粘貼電子表格，但易於複製工作表）：
負利率的解釋：看到負利率
NewMetric甚至其他CAGR_Eff計算可能看起來很奇怪，但它似乎是正確的。例如，在 x=100,y=100,n=5 的第 2 行，您實際上每年投入 100，因此在沒有增長的情況下，您至少有 y=500，但它是 110，因此是損失。對於同一行，如果您在 5 年開始時僅投資 100，則實際上是利潤（僅 10）。因此，CAGR 將繼續為正，y>x但NewMetric如果y<nx.對於更大的 y 值，比如 y=5000 或 20000，這些數字將始終為正，但 NewMetric_CAGR 將小於 CAGR，這是有道理的（因為您投資的是 NX（NewMetric）與 X（CAGR），所以得到相同的 Y必須意味著每年較低的利率。
如果您每月投資 X 個月，且每月收益率恆定為 R > 1，那麼在 N 個月後，您將擁有大約 B = X * (R^N - 1) / (R - 1)。在這裡，您知道 B、X 和 N，並且需要求解 R。看起來這不是一個簡單的封閉形式解決方案，但我們可以有效地逼近它。例如：
X = $400 B = $60,000 N = 120R = 1.0 的月收益率將使 B = 48,000 美元，所以我們知道我們的月收益率更高。R = 1.01 產生約 92,000 美元，因此月收益率低於此值。將 R = 1.005 的差值分開得到約 65,000 美元，更接近。R = 1.0039 非常接近正確答案。對應的APY為4.78%。
這種方法產生的數字是儲蓄賬戶在投資期間必須提供的可比較的恆定利率，以便為您提供相同的回報。
我在這裡忽略了一些細節，但是使用幾何級數的部分和公式的完整推導並不太難……你會得到一個更精確的答案（這可能會在某個方向或其他方向上相差一個月）。