永久增長定期付款的現值
有多個網站發布了永久 EQUAL 定期付款的現值 (PV) 公式：
PV = a / ((1 + i)^t - 1)
其中a（以美元為單位）是定期付款的價值，t（以年為單位）是期限。換句話說，該工具每 t 年產生 $a 的付款。i 是貼現利率（作為小數部分）。
我目前的任務略有不同。付款是定期產生的（每 t 年），但付款金額以年增長率 (g) 增長。為免生疑問，增長率 g 為 ANNUAL。
不幸的是，我沒有為我的案例建構公式的數學技能。我的猜測是年增長率 g 可以從貼現率 i 中減去。因此：
PV = a / ((1 + i - g)^t - 1)
它是否正確？非常感謝。
您可以計算永續付款的 PV 的唯一原因是貼現率；儘管您有無限次付款，但每次付款的現值都在減少，導致這些值的總和為有限的總數。如果您有不斷增長的付款，那麼如果增長超過貼現率，那麼總體而言，每次付款的現值都大於前一次，因此總數將是無限的。
如果增長率小於貼現率，那麼應該使用比率，而不是差值。
我們正在處理一個幾何級數。無限幾何級數的公式是：
a/(1-r)
其中 r 是每一項相乘的數量。假設第 0 年的付款為 a，第 1 年的付款為 a+ag。這相當於 a(1+g); 付款乘以 (1+g)。另一方面，當我們打折付款時，我們會分開；我們應該有 a/(1+i)。所以一年的總因子是(1+g)/(1+i)。對於 t 年，它是 [(1+g)/(1+i)]^t。因此，總 r 的公式為：
r = [(1+g)/(1+i)]^t
和的公式是：
a/(1-[(1+g)/(1+i)]^t)
假設付款是在每個 t 年期末支付的（即，第一次付款不是現在，而是 t 年後），並且現在開始以速率 g 的增長（即第一次付款等於 a(1 + g)^t)，您的公式大致正確。年增長率對估值的影響對應於貼現率的降低。
但是，如果這些比率不是非常小，則應以乘法而不是加法的方式組合它們。也就是說，代替 (1 + i - g)^t 你應該有 (1 + i)^t / (1 + g)^t。
此外，如果第一次付款（從現在起的 t 年）等於 a 而不是 a(1 + g)^t，那麼只需將整個 PV 公式除以 (1 + g)^t。