年金增長，現金流量每兩年增長一次

鑑於以下情況，我需要一個計算未來價值的公式的幫助：

每年年末投資一筆金額，從今年年底的PMT****金額開始，年利率為i%，年復利，每兩年（累計）投資金額翻倍。

我很難理解最後一點，“投資金額每兩年翻一番”，因為增長年金公式的未來價值為每年而不是每年增長的投資做出了規定，我該如何繼續？

這是年初餘額的公式n

balance = ((1 + i)^n (3 + i) pmt + (1 + i) (-2^Floor[(1 + n)/2] - 
           2^Floor[n/2] (1 + i)) pmt)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

樓層函式在 Excel 中可用。這是一個 Excel 實現。

不使用 Floor 的版本是

balance = ((1 + i)^n (3 + i) pmt + 2^(1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n (-1 + 2 n))) (1 + i) 
       (-2^(1/2 (-1)^(2 n)) - 2^((-1)^n/2) (1 + i)) pmt)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

公式推導

這裡是推導。利息i為 10% 和初始pmt.

i   = 0.1
pmt = 100

第 1 年年初的餘額為 0。在第 1 年年底支付了一筆款項，因此第 2 年年初的餘額為pmt。下一次付款（第二次）是雙倍的，等等。

p1 = 0
p2 = p1 (1 + i) + pmt
p3 = p2 (1 + i) + 2*pmt
p4 = p3 (1 + i) + 2*pmt
p5 = p4 (1 + i) + 2^2*pmt
p6 = p5 (1 + i) + 2^2*pmt
p7 = p6 (1 + i) + 2^3*pmt
p8 = p7 (1 + i) + 2^3*pmt
p9 = p8 (1 + i) + 2^4*pmt = 5437.33
p10 = p9 (1 + i) + 2^4*pmt = 7581.06

另一種表達方式p10是

p[9 + 1] = p[9](1 + i) + 2^Floor[9/2]*pmt

所以這可以使用 Mathematica 解決

RSolve[{p[n + 1] == p[n] (1 + i) + 2^Floor[n/2]*pmt, p[1] == 0}, p[n], n]

該公式正確計算了指定年份年初的餘額。

p[n] = ((1 + i)^n (3 + i) pmt + (1 + i) (-2^Floor[(1 + n)/2] - 
        2^Floor[n/2] (1 + i)) pmt)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

p[9]  = 5437.33
p[10] = 7581.06

地板功能可以更換

Floor[(1 + n)/2] = 1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n + 2 (-1)^n n)

and Floor[n/2] = 1/4 (-1)^n (1 + (-1)^(1 + n) + 2 (-1)^n n)

給予

p[n] = ((1 + i)^n (3 + i) pmt + 2^(1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n (-1 + 2 n))) (1 + i) 
       (-2^(1/2 (-1)^(2 n)) - 2^((-1)^n/2) (1 + i)) pmt)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

例如，第 9 年年初的餘額

i   = 0.1
pmt = 100
n   = 9

balance = ((1 + i)^n (3 + i) pmt + 2^(1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n (-1 + 2 n))) (1 + i) 
       (-2^(1/2 (-1)^(2 n)) - 2^((-1)^n/2) (1 + i)) pmt)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)
= 5437.33

替代方法

同樣的解也可以作為求和的封閉形式找到。

該範例的總和如下所示

i   = 0.1
pmt = 100
n   = 9

balance = 2^0 pmt (1 + i)^(n - 1 - 1) +
         2^1 pmt (1 + i)^(n - 2 - 1) + 2^1 pmt (1 + i)^(n - 3 - 1) +
         2^2 pmt (1 + i)^(n - 4 - 1) + 2^2 pmt (1 + i)^(n - 5 - 1) +
         2^3 pmt (1 + i)^(n - 6 - 1) + 2^3 pmt (1 + i)^(n - 7 - 1) +
         2^4 pmt (1 + i)^(n - 8 - 1)
= 5437.33

基本未來價值計算

以上與基本計算形成對比，沒有像這樣加倍。

i   = 0.1
pmt = 100
n   = 9

迭代計算

p1 = 0
p2 = p1 (1 + i) + pmt
p3 = p2 (1 + i) + pmt
p4 = p3 (1 + i) + pmt
p5 = p4 (1 + i) + pmt
p6 = p5 (1 + i) + pmt
p7 = p6 (1 + i) + pmt
p8 = p7 (1 + i) + pmt
p9 = p8 (1 + i) + pmt = 1143.59

求和計算

balance = pmt (1 + i)^0 +
         pmt (1 + i)^1 + pmt (1 + i)^2 +
         pmt (1 + i)^3 + pmt (1 + i)^4 +
         pmt (1 + i)^5 + pmt (1 + i)^6 +
         pmt (1 + i)^7
= 1143.59

公式推導

balance = ((-1 + (1 + i)^(-1 + n)) pmt)/i = 1143.59

引用自：https://money.stackexchange.com/questions/100185