固定利率和不斷增長的提款賬戶在 x 年後的期末餘額

我正在尋找一個公式來計算 x 年後我的儲蓄賬戶的餘額，其中這個儲蓄賬戶的利率是固定的，而且我的提款每年都會以固定利率增加（由於通貨膨脹）。

我不是在尋找多行電子表格解決方案。我需要一個單元格（excel）公式。

謝謝你的幫助！

親切的問候，

史蒂夫。

答案取決於取款的頻率。如果他們是一年一度的，那就相當簡單了。您可以使用以下公式：-

b[n] = ((r + 1)^n (i s - r s + w) - w (i + 1)^n)/(i - r)       Formula 1

在每年年底提款的地方，以及

b[n] is the balance in year n
r    is the effective annual interest rate
i    is the effective annual rate of inflation
s    is the initial savings amount
w    is the annual withdrawal

例如與

s = 10000
w = 600
r = 0.05
i = 0.03

第 1 年、第 2 年和第 3 年末的餘額為

b1 = s (1 + r) - w = 9900
b2 = b1 (1 + r) - w (1 + i) = 9777
b3 = b2 (1 + r) - w (1 + i)^2 = 9629.31

使用公式，您可以直接獲得第 3 年的餘額：-

b[3] = ((r + 1)^3 (i s - r s + w) - w (i + 1)^3)/(i - r) = 9629.31

您也可以將上述公式用於每月提款（使用月費率），但提款將在全年增加。

對於每年增加的每月提款，可以使用以下公式：-

b[n] = (w ((m + 1)^y - 1) ((i + 1)^n - ((m + 1)^y)^n))/
        (m (-i + (m + 1)^y - 1)) + s ((m + 1)^y)^n            Formula 2

在哪裡

m is the periodic interest rate
w is the periodic withdrawal
y is the number of periods

例如與

s = 10000
w = 600/12
r = 0.05
y = 12
m = (1 + r)^(1/y) - 1
i = 0.03

第 3 年年底的餘額為

b[3] = (w ((m + 1)^y - 1) ((i + 1)^3 - ((m + 1)^y)^3))/
        (m (-i + (m + 1)^y - 1)) + s ((m + 1)^y)^3 = 9585.09

用長期計算檢查：-

t1 = s (1 + m) - w
t2 = t1 (1 + m) - w
t3 = t2 (1 + m) - w
t4 = t3 (1 + m) - w
t5 = t4 (1 + m) - w
t6 = t5 (1 + m) - w
t7 = t6 (1 + m) - w
t8 = t7 (1 + m) - w
t9 = t8 (1 + m) - w
t10 = t9 (1 + m) - w
t11 = t10 (1 + m) - w
t12 = t11 (1 + m) - w = 9886.37

t1 = t12 (1 + m) - w (1 + i)
t2 = t1 (1 + m) - w (1 + i)
t3 = t2 (1 + m) - w (1 + i)
t4 = t3 (1 + m) - w (1 + i)
t5 = t4 (1 + m) - w (1 + i)
t6 = t5 (1 + m) - w (1 + i)
t7 = t6 (1 + m) - w (1 + i)
t8 = t7 (1 + m) - w (1 + i)
t9 = t8 (1 + m) - w (1 + i)
t10 = t9 (1 + m) - w (1 + i)
t11 = t10 (1 + m) - w (1 + i)
t12 = t11 (1 + m) - w (1 + i) = 9748.65

t1 = t12 (1 + m) - w (1 + i)^2
t2 = t1 (1 + m) - w (1 + i)^2
t3 = t2 (1 + m) - w (1 + i)^2
t4 = t3 (1 + m) - w (1 + i)^2
t5 = t4 (1 + m) - w (1 + i)^2
t6 = t5 (1 + m) - w (1 + i)^2
t7 = t6 (1 + m) - w (1 + i)^2
t8 = t7 (1 + m) - w (1 + i)^2
t9 = t8 (1 + m) - w (1 + i)^2
t10 = t9 (1 + m) - w (1 + i)^2
t11 = t10 (1 + m) - w (1 + i)^2
t12 = t11 (1 + m) - w (1 + i)^2 = 9585.09

長期計算證實了這個公式。

這個公式也適用於季度提款。剛設置y = 4。

推導

公式 1 源自以下差分方程

b[n + 1] = b[n] (1 + r) - w (1 + i)^n  where  b[0] = s

公式 2 分兩步導出。x首先，得出帶週期的一年總數：-

f[x + 1] = f[x] (1 + m) - w  where  f[0] = q

∴ f[x] = ((1 + m)^x (m q - w) + w)/m

然後將其包含在多年公式中，其中q = b[n]：-

b[n + 1] = ((1 + m)^y (m b[n] - w (1 + i)^n) + w (1 + i)^n)/m

   where b[0] = s

∴ b[n] = (w ((m + 1)^y - 1) ((i + 1)^n - ((m + 1)^y)^n))/
          (m (-i + (m + 1)^y - 1)) + s ((m + 1)^y)^n 

引用自：https://money.stackexchange.com/questions/106053