我正在研究一篇關於終身年金的論文，在論文中，提供了以下範例：

初始購買金額為 100,000 美元，保修期為 20 年，一位 80 歲的女性預計每月將收到 664 美元的付款。

我對終身年金保證期的理解是，如果個人在保證期到期之前死亡，則每月付款將持續到保證期的剩餘時間。因此，如果我們假設的 80 歲女性在 85 歲時去世，她的配偶和/或孩子將在 15 年內每月收到 664 美元。

但令我困惑的是，總保證支出 (664 * 12 * 20) 遠高於 100,000 美元，實際上接近 160,000 美元。我不明白為什麼保險公司會同意損失 60,000 美元。

我對這種情況缺少什麼？這是我第一次體驗終身年金，所以我可能誤解了一個關鍵因素。

保險公司真正的賺錢者來自投資自由現金。大多數保險公司擁有多元化的固定收益和股票投資組合。

也許有人可以提供更準確的數字，但根據我的信封背面計算，保險公司每年可能需要賺取 5.4% 左右才能實現收支平衡。目前可以從保守的投資級優先股中獲得更多。想像一下，如果一家保險公司在過去 10 年中投資於股票，那 100,000 美元的保費收入會是多少。

當市場不合作或精算預測錯誤（索賠發生率）時，保險公司可以提高其保險產品的費率。

為什麼人壽保險公司會同意支付高於給他們的本金的名義金額？

正如其他答案中提到的那樣，保險公司假設他們將從年金受益人那裡獲得的本金回報高於他們給予年金受益人的本金。

這背後的基本原理稱為貨幣時間價值。從廣義上講（假設正利率）現在的錢比未來的錢更值錢，假設您可以賺取無風險的貨幣利率。

正如其他答案中提到的那樣，考慮到他們將僅在保證部分上支付的金額，他們需要在 100,000 美元的約 5.2% 上獲得相對可觀的回報才能達到收支平衡。很明顯，他們已經計算出，對於這部分，他們將獲得比這個數額更多的收入。

就這麼簡單嗎？

這並不像假設 20 年 5.2% 的回報率那麼簡單，因為一些 80 歲的人會活到 100 歲以上，而保險公司也希望支付這些費用（因為這是終生年金） . 如果是 20 年保證定期年金，那麼是的，就這麼簡單，但這是終身年金，因此必須考慮生存。

同樣重要的是要明白，這不是拿 100,000 美元，投資 20 年，最後得到 160,000 美元那麼簡單。之所以不那麼簡單，是因為我們需要在整個 20 年的期限內每月支付 664 美元。因此，我們在整個 20 年期間沒有獲得這些付款的回報。與僅將 100,000 美元投資並在 20 年期末一次性全部取出時相比，我們需要更高的利率來為年金提供資金。

他們如何計算它的價值？或者他們怎麼知道他們需要賺取什麼才能獲利？

有保證期的終身年金的預期現值公式表示為1：

EPV = P * (ag t + v t * t p x * a (x + t) )

在哪裡：

• EPV 是預期現值。在這種情況下，假設沒有利潤，您希望 EPV 等於 100,000 美元，即年金人用來購買年金的錢）
• t 是您希望保修期持續的時間（以年為單位）（在本例中為 20 年）
• P 是一年內年金支付的名義價值（在本例中為 $664 * 12 = $7,968）
• v 是利率 i 下一年的貼現因子（這就是我們如何將今天的貨幣價值與明天的貨幣價值等同起來）
• ag t是期限為 t 年的保證年金（這是終身年金的保證部分）
• a (x+t)是給 x+t 歲的人的終生年金價值，沒有保證期，本金是您最喜歡的貨幣的 1 ($/£/€)。這是無法保證的終身年金的剩餘部分。
• t p x是 x 歲的人活到 x+t 歲的機率（即保險公司必須支付這筆款項的機率）

該公式可用於計算年金的三個常見未知數中的任何一個（單期保費、所需利率或年金受益人的年/月付款）。

他們還都假設年金被拖欠支付（即我現在付給你 100,000 美元，而你在一個時期過去 [1 個月] 後付給我我的第一筆款項）。您可以進行其他修改來計算立即年金（在每個利息期之前向您支付的年金），但它們與本問題的目的無關。

但是，您可能會問，您如何計算這些不同的公式？

其中三個非常簡單（數學方面）

• v = 1/(1+i) 其中 i 是您期望獲得的利率

• ag t = (1 - v t ) / i

• a (x+t) = inf sum t=0 (v t * t p x+t ) 其中inf sum t=0表示您從 t=0 到 t=infinity 求和。

  • 由於我們知道人類不會永遠活著，因此大多數保險公司都會有一個假定的“歐米茄年齡”，即假定所有投保人都會死亡。這通常是 120 或 125。120 是更常用的假設。因此，該公式簡化為：
  • a (x+t) = omega_age - (x+t)和t=0 (v t * t p x+t )

注意：上述公式假設每年支付一次。如果是按月支付，則需要對保證年金公式和終身年金公式進行進一步調整，以考慮到這一點。

最後一項（t p x）沒有一個很好的公式，這個值的計算是你有精算師的很大一部分原因。

t p x是使用歷史數據計算的，以計算出 x 歲的人在該年齡之後的每個時間段內死亡的可能性。像英國的持續死亡率調查這樣的研究投入了大量資源來弄清楚這些值是什麼，並製作模型來預測未來這個值的變化。這些調查產生了一個整個國家（例如英國）的預期生存機率表。

這些國家範圍的表格由個別保險公司根據以下因素進行調整：

• 隨著時間的推移，醫療保健的改善（以及預期壽命的改善）
• 事實上，投保人往往比一個國家的普通人口更健康（因為他們正在考慮自己的健康並為此花錢）
• 不同地區和收入的死亡率差異（一些地區，如煤礦城鎮，由於接觸煤塵和其他縮短壽命的致癌物質，死亡率往往明顯更差）
• 該人是否吸煙
• 等等

因此，對此沒有簡單的公式，通常精算師會從一組預先計算的表格中獲取這一點，這些表格至少每年更新一次，有時更頻繁。通常，這些表格將由每家公司的精算研究團隊製作。同一團隊還將確定未來潛在死亡率改善的觀點，然後將其應用於列表基表值的頂部。

保險公司如何通過這種安排獲利？

重要的是要記住，他們為年金受益人提供的年金回報率最低為 5.2%，在保單持有人的一生中都包含在年金中。為了從出售這種年金中獲利，保險公司需要在該金額上增加一些保證金，而該保證金來自他們期望用這筆錢在貨幣市場上賺取的利潤。

為了獲得一定程度的利潤，並為超過 100 歲的保單持有人支付報酬，保險公司將要求投資回報高於純粹按年金的保證部分計算的投資回報。因此，在這種情況下，它可能在 6% 到 16% 之間（確切的百分比取決於銷售年金的具體市場、保險公司所受監管的監管環境以及利潤水平）。保險公司正在尋求實現）。

6 - 16% 的數字從何而來？

它來自我在歐洲保險公司精算方面工作近十年的經驗。由於保險市場的競爭性，大多數保險公司（平均而言）會在他們的保單上尋找 5-10% 的利潤率，5% 是典型的（根據我的經驗）。

此外，他們將需要在本金上賺取一些額外的投資收入，以覆蓋擔保期之後的時期。在一個 80 歲的年金受益人的特定情況下，與他們的整個保單相比，這個額外的利息要求相對較小，因為活到 100 歲以上的保單持有人數量很少。如果他們為保單持有人提供類似的回報60 歲，那麼所需的額外利息將更加重要，因為大部分人口都活在 80 歲以上。

5.2%的數字從何而來？

5.2% 的數字來自計算支持年金的年金確定部分（即 20 年保證部分）所需的利率。為此，我們採用上面的年金公式：

• ag t = (1 - v t ) / i

並將其乘以 1 年年金支付（即 P），$664 * 12 = $7,968。

使用這兩條資訊以及我們知道年金受益人將支付的金額（100,000 美元）這一事實，我們建立了等式：

• 100,000 美元 = 7,968 美元 * ( 1 - (1/(1+i) ) 20 ) / i

並解決 i。最快的方法是在 excel 中設置公式並尋找合適的利率。注意：如果您知道利率，則此公式更容易用於查找其他兩個值之一。

如果我們計算該利率，我們得到 4.92%。正如你可能注意到的，這不是 5.2%，我承諾的是 5.2%！這裡的區別在於這個公式使用的是年復利而不是月復利。相反，如果我們使用每月復利，我們需要使用的公式是：

• 100,000 美元 = 7,968 美元 * ( 1 - (1/(1+i) ) 20 ) / ( 12 * ( (1+i) (1/m) - 1 ) )

我們所做的修改是標準修改。要將每年復利的數字轉換為每年復利 m 次的數字，請將該數字乘以i / r (m)，其中 r (m)是每年復利 m 次的年利率。

在我們的例子中，這意味著只需將公式分母中的年利率（每年復利）i替換為年利率（每月復利） r (12) = (12 * ( (1+i) ( 1/m) - 1))。

執行此操作時，您將獲得 5.19% 的利率，如果四捨五入，則為 5.2%。

警告

這個答案忽略了保險公司需要承擔的超出保單利益的所有成本。這些成本將作為我之前提到的“6%-16%”數字的一部分，但利潤也需要從這個數字中得出。

我忽略了哪些成本？

• 工資（通常約為組織成本基礎的 30%）
• 建築物維護和保險費用（是的，保險公司需要為其建築物投保）
• 在金融市場上運營的交易成本
• 欺詐調查（有些人樂於送出欺詐索賠，因為他們將其視為“無受害者犯罪”，但事實並非如此，它已計入該公司投保的每個人的保費中）
• 未來的監管變化（保險公司是受高度監管的企業，而像 Solvency 2 這樣的變化可能需要花費大量資金才能合規）
• 交易對手風險（如果他們的供應商之一破產，他們仍然需要提供供應商提供的任何服務會發生什麼）
• 等等

顯然，所有這些因素對利率的影響在很大程度上取決於保險公司的保單有多大（年金也是保單！）。較大的書籍可以利用規模經濟來要求其保單的利率回報較低，從而提供較低的保費（並吸引更多的保單持有人）。

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1：有一個更正式的符號來區分保證年金和終身年金，但是 stackexchange 網站不允許在使用圖片之外格式化該符號，這對螢幕閱讀器不友好。

引用自：https://money.stackexchange.com/questions/116747